Funciones Especiales

FUNCIONES ESPECIALES

FUNCIÓN CONSTANTE

TRLAS QUE F(x)K CON K X ERSe llama función constante a la que no depende de ninguna variable, y la podemos representar como una función matemática de la forma:

Donde a es la constante.

Como se puede ver es una recta horizontal en el plano xy, en la gráfica la hemos representado en el plano, pero, como se puede ver la función no depende de x, si hacemos:

Tenemos:

Donde a tiene un valor constante, en la gráfica tenemos representadas:

Como la variable dependiente y no depende de x tenemos que:

La variación de y respecto a x es cero

La función constante como un polinomio en x

Si un polinomio general, tiene la forma:

Una función constante cumple esta expresión con n= 0, es un polinomio de grado 0.

Que es lo mismo que:

Que corresponde al termino independiente del polinomio.

Grafica de la función constante

Es el conjunto de los puntos del plano que representan a los pares ordenados de la función, donde su primera componente es un número real y su segunda componente es el valor constante.

F= {(x,f(x)]

VALOR ABSOLUTO

en matemáticas, el valor absoluto o módulo[1] de un número real es su valor numérico sin su respectivo signo, sea este positivo (+) onegativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y -3.

El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los números reales,cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.

El valor absoluto está estrechamente relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos.

Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos:

1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.

2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo.

3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función.

4 Representamos la función resultante.

GRAFICA DE LA FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

Es el conjunto de puntos del plano que representa a los pares ordenados de la función en los cuales la primera componente es un numero real y la segunda componente ese el valor absoluto de la primera.

Propiedades de la función

a) INYECTIVA: Aquellas en que a cada imagen le corresponde un único origen. Formalmente,

o lo que es lo mismo,

a cada elemento del dominio corresponde el mismo numero como su imagen de manera que diferente elementos del dominio tienen la misma imagen.

C=3

Por lo tanto la función constante no es inyectiva. Todas las funciones constantes no son inyectivas

B) SUPRAYECTIVA: Aquellas en que la aplicación es sobre todo el codominio, es decir, cuando el conjunto imagen 
. Esto significa que todo elemento del condominio tiene un origen. Formalmente,

Estas funciones también se conocen como exhaustivas o epiyectivas.

como el dominio y el contra dominio de la función son los números reales y cualquier le pertenece al conjunto de A le corresponde el mismo numero, entonces el conjunto imagen es igual a ej. C=3 y 3 =/ TR por consiguiente la función constante no es suprayectiva

c) BIYECTIVA: cuando la función es inyectiva y suprayect5iva ala vez, cumple la regla biyectiva por lo tanto depende de la fu8ncion

Aquellas que son al mismo tiempo inyectivas y sobreyectivas. Formalmente,

Ejemplos

Sobreyectiva, no inyectiva

Inyectiva, no sobreyectiva

Biyectiva

No sobreyectiva, no inyectiva

Ejercicios

FUNCIÓN CONSTANTE

F(x)= 3x E1R F=[(x, F(x)]

VALORES F x =3 (X, F x)

-3 F (-3) =3 (-3,3)

-2 F (-2) =3 (-2,3)

-1 F (-1) =3 (-1,3)

0 F (0) =3 (0,3)

1 F (1) =3 (1,3)

2 F (2) =3 (2,3)

3 F (3) =3 (3,3)

Propiedades

Inyectiva:

Esta grafica no es inyectiva debido a que todos los elementos del dominio les corresponden el mismo contra dominio es decir para todos los elementos de a

C=3

Suprayectiva:

Tampoco es suprayectiva debido a que a todos los humeros de a les corresponde el mismo contra dominio

Biyectiva:

Al no ser inyectiva ni tampoco suprayectiva n cumple las reglas de esta y no es biyectiva

F(x)= -3

-3 F (-3) =-3 (-3,-3)

-2 F (-2) =-3 (-2,-3)

-1 F (-1) =-3 (-1,-3)

0 F (0) =-3 (0,-3)

1 F (1) =-3 (1,-3)

2 F (2) =-3 (2,-3)

3 F (3) =-3 (3,-3)

Propiedades

Inyectiva:

Esta grafrica no es inyectiva para que todos los elementos de X corresponden ala misma imagen es decir que en todos los casos

C=-3

Biyectiva:

No es biyectiva ya que estas a su vez no es ni inyectiva ni suprayectiva al mismo caso anterior y sus rangos corresponden a cualquier cantidad de los dominios.

Suprayectiva:

No es suprayectiva ya que aunque coincida en (-2,-2) el rango es el mismo para todos los dominios.

Ejercicios

VALOR ABSOLUTO

F(x)= -4

X F(x)=(x) (x, F(x))

-4 F (-4)=/-4/ (-4,4)

-3 F (-3)=/-3/ (-3,3)

-2 F (-2)=/-2/ (-2,2)

-1 F (-1)=/-1/ (-1,1)

0 F (0)=/0/ (0,0)

1 F (1)=/1/ (1,1)

2 F (2)=/2/ (2,2)

3 F (3)=/3/ (3,3)

4 F (4)=/4/ (4,4)

Propiedades

Inyectiva:

Esta grafica si es inyectiva ya que para los dominios siempre hay contra dominio diferente a los demás.

Suprayectiva:

Si es suprayectiva ya que a todos los elementos les corresponde más de un elemento y en este caso les corresponde dos as cada uno.

Biyectiva:

Si es biyectiva ya qu8e no se repite ningún para y los contra dominios cambian

Vídeos relacionados

Funciones trigonométricas para los ángulos 30, 60 y 45 - HD

Indeterminación 1 elevado a infinito (1/2)

Limites Analíticamente

Funciones

Funciones Matemáticas: Conceptos Básicos

En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y(llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito).

Ver: Relaciones y funciones

En lenguaje cotidiano o más simple, diremos que las funciones matemáticas equivalen al proceso lógico común que se expresa como “depende de”.

Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el costo de una llamada telefónica que depende de su duración, o el costo de enviar una encomienda que depende de su peso.

A modo de ejemplo, ¿cuál sería la regla que relaciona los números de la derecha con los de la izquierda en la siguiente lista?:

                          1 -------->   1

                          2 -------->   4

                          3 -------->   9

                          4 --------> 16

Los números de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda.

La regla es entonces "elevar al cuadrado":

                           1 -------->   1

                          2 -------->   4

                          3 -------->   9

                          4 --------> 16

                           x -------->   x².

Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general es  la letra f (de función). Entonces, f es la regla "elevar al cuadrado el número".

Usualmente se emplean dos notaciones:

                                           x --------> x²      o     f(x) = x² .

Así, f(3) significa aplicar la regla f a 3. Al hacerlo resulta 3² = 9.

Entonces f(3) = 9. De igual modo f(2) = 4,  f(4) = 16,   f(a) = a², etc.

Veamos algunos ejemplos que constituyen funciones matemáticas.

Ejemplo 1

Correspondencia entre las personas que trabajan en una oficina y su peso expresado en kilos

Conjunto X	Conjunto Y
Ángela	55
Pedro	88
Manuel	62
Adrián	88
Roberto	90

Cada persona (perteneciente al conjunto X o dominio) constituye lo que se llama la entrada o variable independiente. Cada peso (perteneciente al conjunto Y o codominio) constituye lo que se llama la salida o variable dependiente. Notemos que una misma persona no puede tener dos pesos distintos. Notemos también que es posible que dos personas diferentes tengan el mismo peso.

Ejemplo 2

Correspondencia entre el conjunto de los números reales (variable independiente) y el mismo conjunto (variable dependiente), definida por la regla "doble del número más 3".

                                              x -------> 2x + 3 o bien f(x) = 2x + 3

Algunos pares de números que se corresponden por medio de esta regla son:

Conjunto X	Conjunto Y	Desarrollo
− 2	− 1	f(−2)  = 2(−2) + 3 = −4 + 3 = − 1
− 1	1	f(−1)  = 2(−1) + 3 = −2 + 3 =    1
0	3	f(0)    = 2(0)   + 3 =   0 + 3 =    3
1	5	f(1)    = 2(1)   + 3 =   2 + 3 =    5
2	7	f(2)    = 2(2)   + 3 =   4 + 3 =    7
3	9	f(3)    = 2(3)   + 3 =   6 + 3 =    9
4	11	f(4)    = 2(4)   + 3 =   8 + 3 =  11

Con estos ejemplos vamos entendiendo la noción de función: como vemos, todos y cada uno de los elementos del primer conjunto(X) están asociados a uno, y sólo a uno, del segundo conjunto (Y). Todos y cada uno significa que no puede quedar un elemento enX sin su correspondiente elemento en Y. A uno y sólo a uno significa que a un mismo elemento en X no le pueden corresponder dos elementos distintos en Y.

Ahora podemos enunciar una definición más formal:

Una función (f) es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto X (dominio) exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto Y (codominio).

Otra definición equivalente es: sean X e Y dos conjuntos. Una función de X en Y es una regla (o un método) que asigna un (y sólo uno) elemento en Y a cada elemento en X.

Usualmente X e Y son conjuntos de números.

Generalizando, si se tiene una función f, definida de un conjunto A en un conjunto B, se anota

         f : A -----> B  (o, usando X por A e Y por B    f : X -----> Y) o f(x) = x

Recordemos de nuevo que el primer conjunto A se conoce como dominio (Dom) de la función y B es el codominio o conjunto de llegada.

f(x) denota la imagen de x bajo f, mientras que x es la preimagen de f(x).

En el ejemplo 2 anterior el número 3 es la imagen del número 0 bajo f; por su parte, 1 es la preimagen del número 5.

El rango (Rg) o recorrido (Rec) o ámbito (A) es el conjunto de todos los valores posibles de f(x) que se obtienen cuando x varía en todo el dominio de la función.

Ejemplo 3

Suponga que el conjunto A (de salida) es A = {1, 2, 3} y que el conjunto B (de llegada) es B = {0, 4, 6, 8, 10, 12} y que la relación de dependencia o correspondencia entre A y B es "asignar a cada elemento su cuádruplo".

Vamos a examinar si esta relación es una función de A en B y determinaremos  dominio y recorrido.

Veamos:

A los elementos 1, 2 y 3 del conjunto A les corresponden, respectivamente, los elementos 4, 8 y 12 del conjunto B. Como a cada elemento de A le corresponde un único elemento de Y, la relación de dependencia es una función (función de A en B).

Dominio = {1, 2, 3}                 Recorrido = {4, 8, 12}

Notar que el recorrido es un subconjunto del codominio B = {0, 4, 6, 8, 10, 12}

Aquí debemos recordar que toda función es una relación, pero no todas las relaciones son funciones. Como ejemplos de relaciones que son funciones y algunas que no lo son, veamos las siguientes:

Si tenemos los conjuntos

A = {1; 2; 3; 4}, B = {1; 2; 3; 4; 5}

Podemos establecer las relaciones

f = { (1; 2); (2; 3); (3; 4); (4; 5) }

g = { (1; 2); (1; 3); (2; 4); (3; 5); (4; 5) }

h = { (1; 1); (2; 2); (3; 3) }:

Está claro que f, g y h son relaciones de A en B, pero sólo f es una función (todos los elementos del conjunto A tiene su correspondiente elemento en b); g no es función ya que (1; 2) y (1; 3) repiten un elemento del dominio (el 1). Tampoco h es una función ya que Dom(h) = {1; 2; 3} ≠ A (falta el 4).

Ejemplo 4

Sea X = {−4, −1, 0, 4, 9},       Y = {−4,−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4}  y que la regla de correspondencia es " asignar a cada elemento de X el resultado de extraer su raíz cuadrada".

Vamos a determinar si esta regla constituye función de X en Y.

Veamos:

A simple vista se aprecia que los números 0, 4, 9 tienen imagen en Y (), pero a los números −4 y −1 no les corresponden elementos en Y. Como existen elementos de X que no se corresponden con elementos de Y, esta relación no es función de X en Y.

Dominio y rango de una función

Como ya vimos, el dominio de una función es el conjunto de valores para los cuales la función está definida; es decir,  son todos los valores que puede tomar la variable independiente (la x).

Por ejemplo la función f(x) = 3x² – 5x está definida para todo número real (x puede ser cualquier número real). Así el dominio de esta función es el conjunto de todos los números reales.
En cambio, la función   tiene como dominio todos los valores de x para los cuales −1< x < 2, porque aunque pueda tomar cualquier valor real diferente de –2, en su definición determina en qué intervalo está comprendida.

Si el dominio no se específica, debe entenderse que el dominio incluye a todos los números reales para los cuales la función tiene sentido.

En el caso de la función  , el dominio de esta función son todos los números reales mayores o iguales a –3, ya que  x + 3 debe ser mayor o igual que cero para que exista la raíz cuadrada.

Como resumen, para determinar el dominio de una función, debemos considerar lo siguiente:

Si la función tiene radicales de índice par, el dominio está conformado por todos los números reales para los cuales la cantidad subradical sea mayor o igual a cero.

Si la función es un polinomio; una  función  de  la  forma   f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² +...+ a_nxⁿ (donde a₀, a₁, a₂,..., a_n son constantes y nun entero no negativo), el dominio está conformado por el conjunto de todos los números reales.

Si la función es racional; esto es, si es el cociente de dos polinomios, el dominio está conformado por todos los números reales para los cuales el denominador sea diferente de cero.

El rango (recorrido o ámbito) es el conjunto formado por todas las imágenes; es decir, es el conjunto conformado por todos los valores que puede tomar la variable dependiente; estos valores están determinados además, por el dominio de la función.

Ejemplo

Identificar dominio y rango de la función  

Veamos:

Como la función tiene radicales el dominio está conformado por todos los valores para los cuales  x – 2 ≥ 0. Esto es, el dominio de la función incluye todos los reales que son mayores o iguales a 2.

El rango es igual al conjunto de los números reales positivos incluyendo el cero; puesto que al reemplazar los valores del dominio se obtienen únicamente valores positivos bajo la función f.

Ver: PSU; Matemática:

Pregunta 13_2005

Ver: Función: imagen y preimagen

Ver: Tipos de funciones

Fuente Internet:

http://www.jfinternational.com/funciones-matematicas.html

Cargar un graficador de funciones en:

http://gdf2004.tripod.com/